ابرپایداری اشتقاق های چپ تعمیم یافته و اشتقاق های چپ مدولی تعمیم یافته

معادلات تابعی معادلاتی هستند که مجهول در آن ها به شکل تابع است. مشهورترین معادلات تابعی معادله تابعی کشی یعنی f(x+y)=f(x)+f(y) است که یکی از توابع صادق در این معادله f(x)=x است. هم چنین معادله تابعی مربعی f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y) که یکی از جواب های آن تابع مربعی f(x)=x^2 است. سوال مهمی که در این جا مطرح است این است که، اگر تابعی تقریبا در یک معادله تابعی صدق کند، آیا به یک جواب آن معادله تابعی نزدیک است؟ مثبت بودن پاسخ این سوال به معنی پایدار بودن معادله تابعی است. این سوال را اولین بار اولام در [18] به این صورت مطرح کرد که، تحت چه شرایطی یک همریختی نزدیک به یک همریختی تقریبی وجود دارد؟ در اواخر سال1941 هایرز در [8] جوابی مثبت به سوال اولام برای فضاهای باناخ ارائه داد، به این ترتیب که اگر f:x?y و?>0 یک نگاشت بین فضای نرم دار x و فضای باناخ y باشد به طوری که: ?f(x+y)-f(x)-f(y) ??? (x,y?x) آن گاه یک نگاشت جمعی منحصربفرد t:x?y موجود است به طوری که: ?f(x)-t(x) ??? (x?x) به علاوه اگر f(tx) در "t?r" برای هر ثابت x?x پیوسته باشد، آن گاه t خطی حقیقی است. این پدیده پایداری، پایداری اولام-هایرز معادله کشی جمعی f(x+y)=f(x)+f(y) نامیده می شود. تعمیمی از قضیه هایرز برای تقریب زدن نگاشت های جمعی به وسیله آوکی در [1] ارائه شد و نیز برای نگاشت های تقریبا خطی توسط راسیاس در [14] مطرح شد. هم چنین اگر 0?p<1 موجود باشد به طوری که ?f(x+y)-f(x)-f(y) ???(?x?^p+?y?^p ) (x,y?x) آن گاه یک نگاشت جمعی منحصربفرد t:x?y چنان موجود است به طوری که ?f(x)-t(x) ??(2? )/|2-2^p | ?x?^p (x?x) این پدیده پایداری، پایداری هایرز-اولام-راسیاس معادله کشی جمعی f(x+y)=f(x)+f(y) نامیده می شود. از طرفی اگر a,b جبرهای باناخ باشند و b دارای یکه و f:a?b یک نگاشت پوشا باشد به طوری که ?f(a+b)-f(a)-f(b) ???, ?f(ab)-f(a)f(b) ??? (a,b?a) برای ??0 و ??0 ، آن گاه f یک همریختی حلقه است یعنی f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b). این پدیده ابرپایداری بورگین، [3] نامیده می شود. واتانابه و میورا در [10]، پایداری هایرز-اولام-راسیاس و ابرپایداری بورگین اشتقاق ها را روی جبرهای باناخ ثابت کردند. نتایج دیگری از پایداری اشتقاق ها توسط مصلحیان در [11] و پارک نیز در [13] مطرح و ثابت شد. ابرپایداری فوق اشتقاق ها و فوق اشتقاق های تعمیم یافته نیز توسط مصلحیان در [12] و لعل شاطری در [16] بررسی شده است. هدف اصلی در این رساله بررسی ابرپایداری اشتقاق های چپ تعمیم یافته(به طور مشابه، اشتقاق های تعمیم یافته) روی جبرهای باناخ متناظر با معادله تابعی نوع ینسن f((x+y)/k)=(f(x))/k+(f(y))/k است که k>1 یک عدد صحیح است. هم چنین، احکامی برای بردهای اشتقاق های چپ(به طور مشابه، اشتقاق ها) روی جبرهای باناخ را ثابت خواهیم کرد. سپس ابرپایداری فوق اشتقاق های چپ روی جبرهای نرم دار چندگانه را مطالعه می کنیم. این رساله در سه فصل تنظیم شده است. در فصل اول به بیان تعاریف و مقدمات می پردازیم، که در فصل های بعد مورد نیاز است. فصل دوم مشتمل بر دو بخش است که بخش اول برگرفته از مقاله s. y. kang, and i. s. chang, approximate of generalized left derivations, abst. appl. anal. وبخش دوم برگرفته از مقاله h. x. cao, j. ronglv, and j. m. rassias, superstability for generalized module left derivations and generalized module derivations on a banach module, j. ineq. p. appl. math. v. 10(2009), issue 2, article 85. است. در فصل سوم با تعریف فوق اشتقاق های چپ مدولی تعمیم یافته تقریبی به بیان ابرپایداری آن ها روی فضاهای نرم دار چندگانه می پردازیم. این فصل برگرفته از مقاله t. l. shateri, and z.afshari, superstability of generalized module left higher derivations on a multi-banach module, submitted. است.